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송홍엽 교수의 잡글

유클리디안 n차원 벡터공간 (and Online-HW1)

2003.10.06 06:26

송홍엽 조회 수:5759 추천:176

수집합을 실수 혹은 복소수라 하고 이 위에서 정의되는 벡터공간중에서 가장 기본적으로 이해하기 쉬우면서
공학적으로 유용한 놈은 유클리디안 벡터공간입니다. 편의상 실수(real numbers)로 합시다. 실수집합을 R이라 합시다.
일반적으로 양의정수 n=1,2,3,4,5,6,.... 중에서 어느 하나를 고정해서 n차원 유클리드 벡터공간을 다음과 같이 정의합니다.

무엇을 어떻게 정의해야할까요?

집합의 원소가 무엇인지와 앞서 이야기한 두개의 연산을 설명하면 됩니다.

V = { (a1,a2,...,an) | ai는 R의 원소}

연산은 다음과 같이 정의합니다.
(a1,a2,...,an)+(b1,b2,...,bn)=(a1+b1, a2+b2, ... , an+bn) ------------식1
c(a1,a2,...,an) = ( ca1, ca2, ...,can) -------------식2

주의할 점은 위의 식1과 식2에는 지금 4개의 연산이 있다는 점입니다.
식1의 맨 왼쪽에 보이는 +는 "벡터합" 연산입니다. 이것은 실수 두개를 더하는 (여러분에게 친숙한) 덧셈이 더이상 아닙니다.
그 반면에 식1의 오른쪽에 보이는 n개의 +는 실수 두개를 더하는 덧셈입니다.
마찬가지로 식2의 왼쪽은 단순한 곱셈이 아니고 벡터공간을 정의하는 scalar multiplication이며
식2의 오른쪽에 보이는 n개의 곱셈은 실수들의 (흔히 알고있는) 곱셈입니다.

이 두개의 연산이 저 앞에서 이야기한 여러가지 법칙을 만족할까요 ?
우선 0벡터가 있는지 살펴보면 바로 (0,0,...,0)이라는 것을 쉽게 알수 있습니다.
벡터합이 닫혀있나요 ? 그렇습니다. 왜냐면 실수의 합은 실수이기 때문입니다.
만일 R이 수집합이 아니라면 이 성질을 만족하지 않을것입니다. 수집합이기 때문에 닫혀있는 것입니다.
이처럼 앞서 이야기한 모든 조건을 만족한다는 것을 쉽게 확인할수있습니다.

자, 이제 실수집합도 아니고 복소수집합도 아닌 이진수집합 위에 정의된 n차원 유클리디안 벡터공간에 대하여 알아봅시다.
저 아래 이진수의 집합이 수집합이 된다는 사실을 매우 장황하게 설명하였으니
충분히 납득했을것으로 생각합니다.
이진수 수집합위에서 정의된 n차원 유클리디안 벡터공간을 우리는 V(2,n)이라고 표현합니다.
이 집합의 원소는 정확하게 2^n (2의 n승)개 있습니다.
n=2일때를 봅시다. 정확히 다음 4개를 포함하는 벡터공간입니다.
V(2,2)={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}

그러면 V(2,4)는 몇개의 원소를 가지고 있을까요?
2^4=16 입니다.
이들중에서 2차원 부분공간을 이루려면 어떻게 선택해야 할까요?
우선 4개를 선택해야함을 알수있습니다. 그 이유는 이렇습니다.
바로 basis의 원소의 갯수가 2개이고, 이 2개의 선형결합으로 만들수있는 총 갯수는 4개이기 때문입니다.

결국 2개의 원소를 가지는 basis를 하나 선택하면 2차원 부분공간을 하나 찾는 것입니다.
basis는 선형적으로 독립이고 그 벡터공간을 span해야합니다.
2차원공간이라면 그것도 4차원공간의 부분공간으로서 찾는경우,
선형적으로 독립이기만 하면 span성질은 자연히 따라옵니다.
그러므로 우리는 V(2,4)에서 서로 선형독립인 벡터 2개를 선택하면 2차원 부분공간 하나를 얻게 됩니다.
여기서 다음 문제를 생각해봅시다.

서로다른 2차원 부분공간의 숫자와
선형독립인 2개의 벡터를 선택하는 경우의 숫자가 같을까요?
다시말하면, 다음과 같습니다.
V(2,4)에서 서로 선형독립인 벡터 2개를 선택할때마다 서로다른 2차원 부분공간이 얻어질까요?
꼭 그렇지는 않습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.
{(0,1,0,0),(1,0,0,0)} 은 좋은 basis입니다. 그러나
{(0,1,0,0),(1,1,0,0)}도 좋은 basis입니다. 이 둘은 분명히 서로다른 basis입니다만
동일한 2차원 부분공간의 basis를 이룹니다. 이 동일한 2차원 부분공간은 바로
{(0,0,0,0),(0,1,0,0),(1,0,0,0),(1,1,0,0)} 입니다.
이 부분공간의 또다른 basis는
{(1,0,0,0),(1,1,0,0)}입니다.

놀랍게도 2차원 부분공간 한개가 주어지면 정확히 3개의 서로다른 basis가 존재합니다.
이로서 우리는 다음과 같은 사실을 알수있습니다.

V(2,4)에서 두개의 선형독립인 벡터를 선택하는 경우의 수를 3으로 나누면
V(2,4)의 서로다른 2차원 부분공간의 숫자가 된다.

자 이제 게시판HW문제를 출제합니다.
이를 Online-HW1로 부르기로 합시다.

일반적으로
4보다 큰 정수 n이 주어지고, 1부터 n까지 임의의 k에 대해서,
V(2,n)의 k차원 부분공간의 수를 계산해보세요......

이 문제는 따로 제출할 필요는 없으며, 여기 게시판에 가장 먼저 정답과 해설을 올리는 수강생에게
HW점수를 10점 부여하겠습니다. 일반적으로 HW 1회분이 100점으로 환산되어 계산될것이고,
그것의 10분의 1에 해당하는 가중치를 지닙니다....









165.132.59.119 송홍엽: 위의 문제의 답은 서로다른 binary linear [n,k]code의 숫자이랍니다.... -[10/05-21:29]-

165.132.59.119 송홍엽: 이중에는 물론 좋은 성능의 code 도 있고 아주 나쁜 성능의 code도 있습니다. -[10/05-21:30]-

165.132.59.119 송홍엽: 좋은 성능이란 무엇이 좋다는 뜻인지 앞으로 수업시간에 다룰것입니다. -[10/05-21:30]-

220.126.60.152 최밝음: 헐..이번엔 정말 제대로 선착순이네요 ^^ -[10/05-22:02]-

165.132.59.119 송홍엽: 워드나 한글파일로 만들어서 첨부하지 말고 여기에 직접입력하기 바랍니다. text파일로... -[10/05-22:50]-

165.132.59.119 송홍엽: 여러분이 디지털논리회로 수업에서 공부한 부울함수는 바로 V(2,n)에서 이진수 수집합으로가는 함수입니다... 총 몇개있나요? 2^(2^n)개 있습니다.... -[10/05-22:54]-


165.132.59.119 송홍엽: 부울대수란 바로 2^(2^n)개의 부울함수들의 집합과 이 함수들간에 정의된 정의된 몇가지의 연산들로 정의됩니다.... -[10/05-23:08]-

165.132.59.119 송홍엽: 그러한 연산에는 AND, OR, NOT, 등등이 있지요... -[10/05-23:08]-
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