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송홍엽 교수의 잡글

첨부는 대한수학회 소식지에 한국과학기술원 수학과 한상근 교수님이 기고한 글입니다...
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이를 3 X 3로 축소하여 설명하자면 다음과 같다.

3개의 부대에서 각각 소위 1명, 중위 1명, 대위 1명을 불러모아 총 9명을
3열 종대로 세울때, 어느 오와 열(row and column)에 대해서도 서있는 3명이 부대와 계급이 모두 다르게
세울 수 있는가 ?

답은 "있다"입니다. 그리고 다음과 같이 세우면 됩니다.
장교를 (a,b)라 합시다. 여기서 a=1,2,3으로 부대명을 표시하고, b=1,2,3으로 계급을 표시한다고 합시다.
그러면 다음과 같은 3x3 행열이 위의 조건을 만족합니다.

(1,1)   (2,2)    (3,3)
(2,3)   (3,1)    (1,2)
(3,2)   (1,3)    (2,1)                                             -------   (*)

위의 array에서 보면 어느 row와 어느 column에 대해서도 3명의 부대도 모두 다르고
3명의 계급도 모두 다릅니다...

Euler는 3이 아니라 6에 대해서 위와같은 array가 존재하는가 하는 문제를 던진 것입니다.
Euler는 위와같은 6x6 array는 존재하지 않을 것이라고 "추측"하면서, 더 나아가,
자연수 n이 4로 나누어 2가 남는 수이면, 예를들어,  6, 10, 14, 18, 22, ... 등등등,
위의 조건을 만족하는 n x n array는 존재하지 않을것이라는 "가설"을 발표했습니다.

...


세월이 흘러 위의 문제는 다음과 같은 수학의 한분야의 원조문제가 됩니다.

정의 1.
집합 {1,2,...,n}을 생각하고, n x n matrix A가 만일
모든 row에 {1,2,...,n}이 어떤 순서로 나타나고, 동시에
모든 column에 또한 {1,2,...,n}이 어떤 순서로 나타나면
이를 "Latin Square of order n" 이라고 합니다.

예 1. Latin Square of order 1, 2, 3 를 예로 보입니다.
------------------
1
------------------
1    2
2    1
-------------------
1   2   3
2   3   1
3   1   2
--------------------

예 2. Latin square of order 6의 예를 몇개 보입니다.

------------------------
1 2 3 4 5 6
2 3 4 5 6 1
3 4 5 6 1 2
4 5 6 1 2 3
5 6 1 2 3 4
6 1 2 3 4 5
-------------------------
2 3 5 6 4 1
4 5 1 2 3 6
3 4 2 1 6 5
1 2 6 3 5 4
6 1 4 5 2 3
5 6 3 4 1 2
-------------------------

정의 2.
2개의 latin square of order n을 겹쳐서 배열하여 동일한 위치의 원소의 순서쌍 n제곱개가 모두 다르면
그러한 2개의 latin square of order n을 "직교한다"고 하고
이를 pair of orthogonal latin squares of order n이라고 합니다.

예 3.
맨 위쪽의 (*) 에 보인 3 x 3 array는 pair of orthogonal latin squares of order 3를 겹쳐서 배열한 모습입니다.
다시 말해서, (*)에서 첫째 성분만 따오면 하나의 latin squares of order 3이 되고,
둘째 성분만 따오면 또 하나의 latin squares of order 3이 되며,
이 두 개의 latin squares of order 3은 배열 (*)가 가능하므로 서로 직교합니다.



결국 Euler는 1782년에
(1) pair of orthogonal latin squares of order 6가 존재하지 않는다는것과
(2) 만일 자연수 n이 4로 나누어 2가 남는다면, pair of orthogonal latin squares of order n 이 존재하지 않는다는
명제를 세우고, 이를 증명하진 못했지만, 위 두 가지 모두 사실일것이라고 "추측"했었습니다.

현재 알려진 사실을 정리하면 다음과 같습니다.

20세기에 들어서서야 (1)이 사실임이 증명되었습니다. 아마도 컴퓨터로 exhaustive search를 한 결과일겁니다.
1940년대에 놀랍게도 pair of orthogonal latin squares of order 10을 찾았습니다.
--이 논문의 제목이 "Falsity of Euler's Conjecture" 이랍니다...ㅎㅎ

곧 이어 (2)에 나오는 모든 자연수 중에서 6을 제외하고 "모두" pair of orthogonal latin squares of order n이 존재한다고
증명되었습니다...

서구에서, 그리고 세계적으로, pair of orthogonal latin squares of order n에 대한 이론의 효시로
Leonard Euler를 인정하고 "Euler's problem"이라고 부릅니다...



그런데



놀랍게도, 그보다 적어도 50 여년 이상 앞선 시기에 우리의 조선에서
pair of orthogonal latin squares of order n를 연구하던 학자가 있었다는 기록이 있으니
그 이름은 "최석정"이고, 그가 만든 저서의 제목은 "구수략"이라고 합니다.
그림으로 미루어 짐작하건데
최석정은 pair of orthogonal latin squares of order 6를 찾아보려했지만 실패했고
놀랍게도 구수략에 pair of orthogonal latin squares of order 9을 보여주고있습니다...
그리고 pair of orthogonal latin squares of order 10을 찾고자 했으나 실패했다는 언급이 나옵니다.

여기 첨부 문서는 그에 관한 이야기 입니다..

구수략은 한문으로 작성되어 있어서 아무나 읽을수가 없습니다..(저도 까막눈입니다...)
언젠가 이를 한글과 영문으로 번역하여 세계 수학학회에 발표해야한다는 의무감을 가져봅니다...
알려지지 않은 우리의 과학기술의 역사를 전 세계에 알리기 위하여...

앞으로 전세계의 수학교과서에 Euler's Conjecture  대신에 Choi's Conjecture 혹은 Korean Conjecture라고 이름 붙여져야 할겁니다....


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잉여류 계산에서 연립방정식의 해를 구하는 문제중 한 가지 중요한 정리는
고대 중국의 책에서 언급이 있다하여
Chinese Reminder Theorem이라 불리웁니다..
이산수학 혹은 정수론의 가장 기초적인 정리로서
이를 볼때마다 Korea's 9 x 9 orthogonal Latin Square라는 "고유"이름이 붙여질 날을 고대해 봅니다...
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