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송홍엽 교수의 잡글

손바닥/손등 게임

2005.09.30 02:40

송홍엽 조회 수:3415 추천:240

상황:

10명의 친구들이 모여 청송대에서 이야기꽃을 피우고 있습니다.
시간이 흘러 모두들 배가 출출해지고 목도 타들어갔습니다.
1만원씩 추렴하여 10만원을 가지고 약간의 음식과 맥주를 사오기로하였습니다.
문제는 누가 갈것인지를 정해야합니다.

문제:

생각끝에 "덴찌"게임을 하기로했습니다.
각자 임의로 손바닥이나 손등을 내밀어서
3대7로 갈리우면 동일한 쪽을 내민 3명이 가는것입니다.
각자는 임의로 손바닥과 손등을 결정해서 내민다고 가정합시다..(equally likey, memoryless)

(1) 첫째버전: 10명이 이 게임을 하여 최초로 3대7로 나누어지면 게임이 끝납니다.
평균 몇번 시행해야할까요?

(2) 둘째버전: 만일 1대9 혹은 2대8로 갈라진다면 그 1명 혹은 2명을 우선 뽑고나서
그 다음에 남은 9명 혹은 8명이 게임을 반복하여 나머지 2:7 혹은 1:7로 갈라질때까지 시행하여
나머지 사람을 정한다고 합시다.
물론 처음에 1대9로 1명이 뽑히고나서, 다시 1대8로 갈라진다면
그 1명을 뽑고 다시 8명이 1대7로 갈라질때까지 게임을 하는것입니다.
이런경우 최종 3명을 뽑으려면 평균 몇회의 게임을 해야할까요?

(3) 세째버전: 이제 1대9, 2대8, 3대7만을 허락하는게 아니라 4대6까지 허락하는것입니다.
만일 4대6이면 6명은 무조건 안뽑히는것으로하고 4명이서 3명을 뽑아야합니다.
1대3과 2대2가 가능한데 2대2는 어느쪽 2명을 선책할 방법이 없으므로 1대3이되면 그 3명이 뽑히는것으로 합시다...

일반화1:
위의 문제를 n=7부터 시작하는 모든 정수에 대해 일반화 하고 정답을 n의 함수로 구하시오...
물론 첫째버전과 둘째버전에 해당하는 것만 생각하기로 합시다.

일반화2:
두 개의 양의 정수 n과 k를 생각합니다. 2k+1 < n 을 만족합니다.
n명의 친구들 중에서 k명을 선택한다고 하면
평균 몇회를 시행해야 할까요?
위의 첫째 버전과 둘째 버전에 대해서 정답을 n과 k의 함수로 구하시오...

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일반화를 제외하고 10명이 모여 3명을 뽑는 경우 위의 세가지 버전의 문제에 대한 정답을
해석적으로 구한 사람은 여기에 답글을 올리세요.
상금은 "현금3만원+(나와함께하는)푸짐한저녁식사" 입니다..
대상은 학부생으로 연세대학교 전기전자공학 전공으로 제한합니다. (2학년,3학년, 4학년)
상금은 여기 게시판에 첫번째 정답을 올린 사람으로 결정합니다.
연락처를 남겨주기 바랍니다. 이메일이나 핸드폰 번호.

쉽게 풀리리라고 생각하며
많은 정답자를 기대하겠습니다.

일반화2에 대한 정답을 n과 k의 함수로 구한다면
나와함께 논문을 작성토록 합시다... 현금이나 저녁식사가 문제가 아니군요...ㅎㅎㅎ
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