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송홍엽 교수의 잡글

수집합이란...

2004.04.13 05:51

송홍엽 조회 수:3109 추천:151

우리가 어린시절 자연수(natural number)에 대하여 알게됩니다.
하나, 둘, 셋, 등등입니다. 이를 가지고 "연산"을 행합니다.
하나에 둘을 더하면 셋이되고, 다섯에서 셋을 빼면 둘이됩니다.

자연수에 친숙할 무렵 우리는 0(zero)의 개념에 접하게되고
혼란스러워집니다. 이게 무슨 숫자람 ?
아무것도 없는데....

그렇습니다.
역사적으로도 0의 발견은 수학의 발전에 그리 쉽지 않는 발견이었습니다.
뺄셈은 어찌되었나요 ?
이를 완성하기위해서는 음의 정수에 대하여 공부해야합니다.
내 개인적인 경험을 기억해보면, 중1에서 처음으로 음의정수를 접하곤
어린아이가 0을 접할때와 비슷한 혼란스러움을 겪었던 것으로
이제 기억됩니다.


이로서 정수(natural number)의 집합은 완성되고
덧셈은 연산으로서 "완벽"해집니다. 여기서 완벽하다는 뜻은
다음의 5가지 법칙을 만족한다는 것입니다.
1. 어떠한 정수 a와 b에 대해서도 a+b 는 정수이다. (연산의 닫힘성)
2. 어떠한 정수 a와 b에 대해서도 a+b 는 b+a와 같다. (교환법칙)
3. 어떠한 정수 a,b,c 에 대해서도 a+(b+c) 는 (a+b)+c와 같다. (결합법칙)
4. 정수 중에는 특정한 놈이 있어서, 이를 e라고 부르면, 이는 어떠한 정수 a에 대해서도 a+e=e+a=a를 만족한다. (항등원의 존재) --- 구체적으로 0입니다. 앞으로 그냥 0으로 표기합니다.
5. 어떠한 정수 a에 대해서도 이에 대응하는 b라는 놈이 정수로 존재하여 a+b=b+a=0을 만족합니다. (역원의 존재)

즉, 뺄셈이란 덧셈과 같은 것이지요... 곱셈으로 넘어갑시다. 정수와 정수의 곱은
그 결과가 정수이므로 위의 성질 5가지를 모두 만족합니다. 아차. 약간의 수정이 필요합니다.
우선 처음 세가지는 문제가 없구요, 네번째에서 항등원은 1이 있어서 문제 없고,
마지막 다섯번째가 조금 문제입니다. 이를 만족케하기위하여
정수와 정수의 나눗셈에 대하여 닫혀있도록 정수에 살을 붙혀서 완성한 수집합이
바로 유리수집합입니다. 영어로는 rational number라고 하지요.
유리수의 곱셈에 관한한 위의 다섯번째 법칙은 다음과 같이
수정되어야합니다.(나머지 4가지는 + 를 x으로 바꾸고 "정수"를 "유리수"로 바꾸면 됩니다.)

5' 0이아닌 어떠한 유리수 a에 대해서도 이에 대응하는 b라는 놈이 유리수로 존재하여 ab=ba=1 을 만족한다. (곱셈에 대한 역원의 존재)

여기에서 우리는 곱셈에 대한 정의조차도 덧셈을 이용하여 할수있습니다.
예를들어, 3x4는 3을 4번 더하는것으로 3+3+3+3 을 의미하는것으로 하는것입니다.
이를 위하여 추가적인 여섯번째 법칙이 필요합니다.

6. 어떠한 유리수 a,b,c에 대해서도 ax(b+c)=(axb) + (axc)를 만족한다. (분배법칙)

위와같이 덧셈과 곱셈이 정의되고 각각에 대하여 5개의 법칙이 만족하고
분배법칙이 만족하는 수의 집합을 간결하게 수집합, 영어로는 number field라고 합니다.
수집합 중에서 가장 초보적이며 기본적인 수집합이 바로 유리수의 집합입니다.
중고등 수학에서 다루는 수집합에는 이 외에도 실수집합과 복소수집합이 있습니다.
이들은 모두 무한집합입니다. 원소의 갯수가 무한히 많다는 뜻입니다.
원소의 갯수가 유한한 수집합도 있을까요 ?
대답은 ...











있습니다. 가장 간단한 예를 하나만 들겠습니다.
{0,1}입니다. 덧셈과 곱셈은 아래와 같이 정의합니다.

0+0=0
0+1=1
1+0=1
1+1=0


0x0=0
0x1=0
1x0=0
1x1=1


놀랍게도 위와같이 정의된 덧셈과 곱셈은
위에서 이야기한 11가지의 모든 법칙을 만족합니다.
이를 이진수집합이라고 합니다.
우리가 흔히 짝수와 홀수라고 이야기하는 수집합입니다.
즉, 0은 짝수, 1은 홀수라고 두면
위의 성질과 비슷하게 되지요....
이러한 수집합은 오늘날 컴퓨터의 동작에 핵심적인 역할을 담당합니다.
여러분이 사용하고 있는
컴퓨터는 오직 1과 0을 구분하며,
이를 가지고 위의 4칙연산을 수행가능하게 만든 기계입니다.
모든 컴퓨터의 동작은 여기서부터 시작합니다.


위에 설명한 수집합 말고도 무한히 많은 수집합이 있습니다.
대수학이란 분야 중에는
이러한 수집합을 다루는 분야가 있습니다.
이 분야의 전문가는 특정한 수집합의 성질을 규명하고자합니다.
예를 들면 어떠한 방정식의 해가 존재하는가입니다.
잘 알겠지만, 실수계수 2차방정식의 해를 실수집합에서 찾는다면 해의 갯수는 0,1,2중에 하나가 됩니다.
그러나 복소수집합으로 확장하여 해를 찾는다면 1 혹은 2가 되지요...
또한, 여러 수집합의 관계를 규명하는것도 어렵고 중요한 문제입니다.
초등수학에서는 유리수집합에 무리수를 "더하여" 실수집합이 되는것으로 배웁니다.
그리고 실수집합에 -1의 제곱근을 "더하여" 복소수집합이 된다고 배웁니다.
그러나 여기서 "더한다"는 개념은 조금 어려워서 여기 설명하기에는 힘이드는군요.