오늘은 선형부호에 관한 이야기를 주로 하겠습니다.
이진부호로 한정하고요.
그러면 다음과 같은 파라미터를 가집니다.
[n,k,d]
그래서 코드 C가 [n,k,d] binary linear code 이라는 말의 정의는
이진 n-tuple vector space의 k-dimensional subspace로서
minimum Hamming diatance가 d인 벡터 부분공간이라는 뜻입니다.
여기서 minimum Hamming distance d를 굳이 포함시키지 않는다면
[n,k] binary linear code 라고도 합니다.

학기초에 on-line HW으로 이야기했듯이
[n,k] binary linear code는 상당히 많은 수가 존재합니다.
n-tuple vector space의 k-dimensional subspace의 수는 정확히 계산가능합니다만...

이들중 어떻게 k-dimensional subspace를 택해야 좋은 코드인가 하는 문제는
결국 minimum distance를 최대화시키는 것이라고 할수있습니다.
왜냐면 minimum distance가 클수록 오류정정능력이 커지기 때문입니다.
예를 들겠습니다.
n=6, k=2라고 합시다.

64개의 binary 6-tuple중에서 4개를 선택하는 문제입니다.
다음 두가지의 선택을 생각합시다.

Code A:
000000
000111
111000
111111

Code B:
000000
000011
010000
010011

둘다 2-dimensional subspace를 이루며
중간의 두개가 basis를 이룹니다.
차이가 뭘까요?
바로 minimum distance가 다릅니다.
즉, Code A의 최소거리는 3이고
Code B의 최소거리는 1입니다.
Code A를 사용할때 만일 1-bit error가 발생한다면
어디에 발생하든지에 상관없이 이를 검출하여 제대로 수정가능합니다.
Code B를 사용한다면 심지어 특정한 1-bit error는 검출도 불가능합니다.

물론 2-bit error가 발생하면 Code A를 사용한다고 해도 반드시 제대로
수정가능하다고 보장할수는 없습니다만 적어도 1-bit error에 대해서는 그러합니다.
이는 상당한 차이를 줍니다.

앞으로 다음 세가지 문제에 대해서 논의하려고 합니다.
1. 주어진 [n,k] binary linear code의 minimum hamming distance가 d일때 오류정정능력은 어떻게 결정되는가?
2. n,k가 고정되어 있을때, 선택을 잘해서 d를 늘릴수있는 한계는 어디인가?
3. encoding/decoding 방식은 어떠한가?

기대하세요...