랜덤변수의 variance가 0이라면 그 랜덤변수는 어떤 성질을 가질까?

우리는 어떤 랜덤변수의 pdf가 하나의 delta함수일때 variance가 0임을 쉽게 계산할수있습니다.
예를들어 X=3의 값만을 가질수있다면,
P[X=3]=1이고
3=E[X]=average of X, 이며
Var[X]=1(3-3)^2=0 입니다.

결국 X는 랜덤변수라기보다는 상수 3인것입니다.

자 이제 반대로, 주어진 어떤 랜덤변수의 variance가 0이라고 합시다.
이러한 랜덤변수에 대해서 우리는 무슨말을 할수있을까요?

결론은
X=E[X]의 상수라는 것입니다. 이를 증명해보기 바랍니다....