벡터공간을 이야기할때 반드시 포함되어야할 사항은 "어떤 field(수집합) 위에서 정의하는 벡터공간인가" 하는 점입니다.
우리가 흔히 실수집합 또는 복소수집합만을 주로 따지기 때문에 이점은 간과되기 쉽지만
사실은 매우 중요한 문제입니다. 수집합에는 실수집합이나 복소수집합 뿐만 아니라 무수히 많은 종류가 있기 때문입니다.

그러면, 실수위에서 정의된 벡터공간은 무엇일까 라고 묻는게 정확해집니다. 이것에 대해서 알아봅시다.
물리적 의미는 여러가지로 해석될수있지만, 여기서 벡터공간이라고 하는것은 집합을 의미합니다.
물론 집합의 정확한 의미 (무엇이 집합이고 무엇이 아닌가 등등)를 따지기에는 불필요한 복잡함이 있으므로
상식적인 의미의 집합이라고 생각하고 시작합시다.
이 집합 V가 벡터공간이 되기 위해서는 두가지의 연산이 정의되고 이 연산이 일정한 법칙을 따라야합니다.

그중에 첫째가 바로 "벡터합"입니다. 이 집합의 임의의 두개의 원소 v,w에 대해서 반드시 v+w라는 연산이 정의되어야하고
이 정의에 의해 결정되는 v+w라는 결과도 이 집합의 원소이어야합니다.
이 연산은 추가적으로 교환법칙과 결합법칙을 만족해야하며, 이 연산의 항등원인 0벡터가 이 집합 안에 존재해야하고,
이 연산의 역원으로서, 임의의 원소 v에 대해서 반드시 어떤 원소 z가 존재하여 v+z=0벡터, 를 만족해야합니다.
흔이 이런 z를 -v라고 기록합니다.

둘째 연산은 벡터공간의 원소와 바로 이 벡터공간이 정의된 수집합의 원소 ( 즉, 우리가 수라고 부르는 것)와 연산입니다.
이를 흔히 scalar multiplication이라고 합니다. 이 연산은 집합 V의 임의의 원소 v와 수집합 F의 임의의 원소 a가 주어지면
흔이 av라고 표현하며 이 결과도 역시 V의 원소이어야합니다. 이러한 연산이 또한 다음과 같은 몇가지의 법칙을 만족해야합니다.
즉, 수집합의 임의의 원소들 a,b,c,...와 벡터공간의 임의의 원소(즉, 벡터) v,w,...등등에 대해서
av=va,
a(bv)=(ab)v,
a(v+w)=av+aw,
(a+b)v=av+bv,
0v=0벡터
(여기서 0은 수집합의 0 이고, 0벡터는 벡터공간 V의 벡터합의 항등원입니다....
이 둘은 완전히 다른것이므로 확실히 구분해야합니다.)


이러한 두개의 연산으로 정의된 집합 V를 수집합 R (여기서는 실수집합)위의 벡터공간이라고 합니다...

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송홍엽: 다음에 벡터공간의 예를 몇가지 들겠습니다. -[10/05-20:59]-

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조지현: 오오.. 송교수님의 온라인 강의도 진행되는건가요!! 재밌어요 -[10/05-21:03]-

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송홍엽: 온라인 강의 와 더불어 연습문제도 출제했지...^^ -[10/05-21:51]-